Монотонная функция

Функция у = f(х), хЄX, называется убывающей (невозрастающей) на подмножестве МСX, когда для каждых х1 и х2 из М таких, что х1 < х2, справедливо f(х1) > f(х2) (f(х1) ≥ f(х2)).

Она строго возрастает слева и справа, а в центре не убывает. Моното́нная фу́нкция — это функция, которая всё время либо возрастает, либо убывает. Более точно, это функция приращение которой при не меняет знака, то есть либо всегда отрицательное, либо всегда положительное. Если в дополнение приращение не равно нулю, то функция называется стро́го моното́нной. Иногда под терминами возрастающая (убывающая) функция подразумевается строго возрастающая (убывающая) функция.

Математическое понятие функции выражает интуитивное представление о том, как одна величина полностью определяет значение другой величины. Первоначально понятие функции было неотличимо от понятия аналитического представления. Наиболее строгим определением функции является теоретико-множественное определение (на основе понятия бинарного отношения).

10 Производная сложной и обратной функции.

Но в любом случае, функция, по смыслу этого понятия, считается заданной, хотя и косвенно. Следовательно, задание соответствия на каждом элементе множества эквивалентно заданию функции на этом множестве. Для числовых функций, часто задаваемых формулами, понятие функции формулируется и обозначается как соответствие между элементами множеств посредством правила.

Функция, как математический объект, представляет собой бинарное отношение, удовлетворяющее определенным условиям. Например, равенство , где пробегает множество вещественных чисел, задает числовую функцию . Важно понимать, что само по себе равенство не является функцией. Функция, как объект, представляет собой множество упорядоченных пар. А данное равенство есть равенство двух выражений, содержащих переменные.

Если же это другое обозначение переменной , то есть равенство выражений, содержащих разные переменные. Переменные и могут пробегать множества объектов любой природы. Числовые функции можно также задавать с помощью графика. Пусть — вещественная функция n переменных.

Если сверх того исходный базис взять ортонормированным, получим «школьное» определение графика функции. Для функций трёх и более аргументов такое представление не применимо ввиду отсутствия у человека геометрической интуиции многомерных пространств. Однако, и для таких функций можно придумать наглядное полугеометрическое представление (например каждому значению четвёртой координаты точки сопоставить некоторый цвет на графике).

Пусть и — два отображения, таких, что область значений первого отображения является подмножеством области задания второго отображения. Это отображение называется композицией отображений и и обозначается символом (именно в таком порядке!). В случае 1 рассматриваются отображения в самом общем виде и решаются наиболее общие вопросы. Природа множеств определяет и свойства соответствующих функций, поскольку эти свойства формулируются в терминах структур, заданных на множествах.

В силу определения функции, заданному значению аргумента соответствует ровно одно значение функции. Несмотря на это, нередко можно услышать про так называемые многозначные функции. В действительности, это не более чем удобное обозначение функции, область значений которой сама является семейством множеств.

У нечетной функции график симметричен относительно начала координат. Наименьший из положительных периодов данной функции (если он существует) называется ее главным периодом. Основные свойства функции, с которых лучше начинать ее изучение и исследование это область ее определения и значения. Следует запомнить, как изображаются графики элементарных функций. Тема «Функции» имеет широкие приложения в экономике и других областях знания.

Там функции исследуются при помощи первой и второй производных. Функция f(x) называется возрастающей на отрезке ВОЗРАСТНАЯ СТРУКТУРА НАСЕЛЕНИЯ соотношение численности разных возрастных групп населения. Дифференциальное исчисление — раздел математики, в котором изучаются производные и дифференциалы функций и их применения к исследованию функций.

Функция (математика) — У этого термина существуют и другие значения, см. функция. Функция f (x) может иметь несколько экстремумов внутри интервала , причем может оказаться, что какой-нибудь минимум будет больше какого-нибудь максимума. Таким образом, наибольшее значение функции f (x) на интервале — это наибольший из экстремумов функции внутри этого интервала и наибольшее из значений функции на концах интервала.

Графиком функции с областью определения называется множетсво точек Г={(x,f(x) xÎX}. Если не выполняется ни первое, ни второе условие, то функция обшего вида. 2. Монотонность. Функция у=f(x) называется периодической с периодом Т не равным нулю, если выволняется условие f(x+ — T)=f(x). Предположим, что различным значениям х1 и х2 соответствуют различные значения функции f(x1) и f(x2). Тогда для любого уÎУ мы сможем поставить в соответсвие хÎХ y=f(x).

График прямой и обратной функции симметричен относительно биссектрисы первой и третьей координатной четверти. Это правило называется сложной функцией. Предположим, что это не так. U1=( х 0-ε ; х0+ε), ε>0 . Ввиду неограниченности f(x) в этой окрестности должна найтись точка х1Î U1 , такая что │f(х1)│>1. Продолжив это рассуждение, получим Un=( х0-ε/n ; х 0+ε/n) , f(хn) > n, хn → х 0 ; f(хn)→∞.

Функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Функция y=f(x) дифференцируема в точке х0, поэтому её приращение можно представить как Dy=f¢(x0)+a(Dx)*Dx. Следовательно f’ (x) = 0. Аналогично доказывается первое утверждение теоремы 3 и в том случае, когда функция f (x) достигает в точке x0 минимума.

Смотрите также:

Похожие публикации: