Признаки подобия треугольников

Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия. Признак первый – у подобных треугольников два угла одного равны двум углам другого. Теорема (первый признак равенства треугольников). Подобными называются треугольники, у которых углы равны, а сходственные стороны пропорциональны: , , где — коэффициент подобия. Видимо, имелось ввиду – Стороны прямоугольного треугольника пропорциональны числам 3,4,5. Пусть – коэффициент подобия.

Следовательно, подобны, например, ортотреугольникортотреугольника и исходный треугольник, как треугольники с параллельными сторонами. Итак, треугольники указанные подобны, так как оба равнобедренные с равными углами при основании (то есть по двум углам).

Коэффициентподобия выражает пропорциональность, это отношение длин сторон одного треугольника к сходственным сторонам другого: k = AB/A’B’= BC/B’C’ = AC/A’C’. Сходственные стороны в треугольниках находятся напротив равных углов. Коэффициентподобия можно найти разными способами.

Поскольку треугольники подобны по условию, найдите их сходственные стороны. Найдите отношение сходственных сторон, которое будет коэффициентом подобия. Одно из свойств подобных треугольников гласит, что отношение их площадей равняется квадрату коэффициента подобия. Разделите значения площадей подобных треугольников одно на другое и извлеките квадратный корень из результата.

Если разделить длину биссектрис или высот, проведенных из одинаковых углов, вы также получите коэффициент подобия. По теореме синусов для любого треугольника отношения сторон к синусам противолежащих углов равны диаметру описанной вокруг него окружности. Используйте аналогичный путь для нахождения коэффициента, если у вас имеются вписанные в подобные треугольники окружности с известными радиусами.

Как найти коэффициент подобия треугольников

На практике для установления подобия треугольников достаточно проверить некоторые равенства (см. рис. 1). Комбинации этих равенств называются признаками подобия треугольников. Таким образом, признаки подобия треугольников – это геометрические признаки, позволяющие установить, что два треугольника являются подобными без использования всех элементов. Коэффициент подобия k равен отношению соответствующих линейных размеров фигур F и Поэтому площади подобных фигур относятся как квадраты их соответствующих линейных размеров.

13.4. Площади подобных фигур

Подобные треугольники обозначаются следующим образом: Δ ABC ~ Δ A1B1C1. A = A1, B = B1, C = C1 и AB/A1B1 = ВC/В1C1 = АС/А1С1 = k, где k – коэффициент подобия.

Подобие в прямоугольных треугольниках.

Замечание 3: Те требования, которые перечислены в определении подобных треугольников, являются избыточными. К таким элементам подобных треугольников относятся те, которые измеряются в единицах длины. Это, например, сторона треугольника, периметр, медиана. Требования, которые предъявляются к подобным треугольникам определением (это равенство углов и пропорциональность сторон) являются избыточными.

Законы подобия центробежных насосов. Коэффициент быстроходности.

Теорема о пропорциональных отрезках доказывается аналогично теореме Фалеса (только вместо равенства треугольников здесь используется их подобие). Если меньший из двух данных отрезков содержится в большем целое число раз, то меньший отрезок и является наибольшей общей мерой двух данных отрезков. Отношением двух отрезков называется отношение их длин, выраженных в одинаковых единицах измерения.

Медиана – это отрезок, соединяющий любую вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Эта точка называется центром тяжести треугольника. Эта сторона называется основанием треугольника. Отрезок, соединяющий основания высот остроугольного треугольника, отсекает от данного треугольника подобный ему с коэффициентом подобия, равным косинусу общего угла этих треугольников.

В остроугольном треугольнике две его высоты отсекают от него подобные треугольники. В подобных треугольниках соответствующие линии (высоты, медианы, биссектрисы и т. п.) пропорциональны. Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Для подобных пространственных тел, имеющих объем, верна аналогичная теорема: отношение объемов подобных тел равно кубу коэффициента подобия.

Тема урока: «Первый признак подобия треугольников». 8-й класс

Примеры применения этого следствия см. ниже в разделах: «Примеры подобных треугольников» и «Свойства параллельности (антипараллельности) сторон родственных треугольников». Прямоугольник не может быть подобен треугольнику.

Например, в задании даны подобные треугольники и приведены длины их сторон. Для этого запишите длины сторон одного и другого по возрастанию. Вы можете вычислить коэффициент подобиятреугольников, если вам известны их площади.

Высота треугольника

Воспользуйтесь этим свойством для нахождения коэффициента, если в условии задачи даны эти величины. Из рис. 2 видно, что у подобных треугольников одинаковые пропорции, и отличаются они лишь масштабом. Устанавливать подобие треугольников можно и по меньшему количеству элементов.

Три медианы треугольника AD, CF, BE пересекаются в одной точке O, всегда лежащей внутри треугольника и являющейся центром тяжести. Отношения периметров, длин медиан, медиатрис, построенных к сходственным сторонам, равны коэффициенту подобия. Площадь треугольника равна половине произведения его стороны и высоты. Значит, все медианы треугольника пересекаются в одной точке, делящей каждую из них в отношении 2 : 1, считая от вершины.

Смотрите также:

Похожие публикации:

  • Россия в эпоху дворцовых переворотов 1725–1762 ггРоссия в эпоху дворцовых переворотов 1725–1762 гг Верховный тайный совет в 1731 г. был заменен Кабинетом из трех министров во главе с А.И. Остерманом. За 37 лет от смерти Петра I до воцарения Екатерины II (1725–1762) трон занимали шесть […]
  • Уравнение прямых и кривых на плоскостиУравнение прямых и кривых на плоскости Перепишем уравнение плоскости в виде из которого понятно, что «зет» может принимать любые значения. 2. Привести уравнение к каноническому виду и построить кривую в исходной системе […]
  • Церковная реформа Петра IЦерковная реформа Петра I Дело пошло в Сенат, и Сенат оправдал лекаря. И на духовенство в этом смысле были возложены Петром тяжкие обязанности. Так же, как и там, Пётр позаботился об устройстве надзора за […]