Уравнение прямых и кривых на плоскости

Перепишем уравнение плоскости в виде из которого понятно, что «зет» может принимать любые значения. 2. Привести уравнение к каноническому виду и построить кривую в исходной системе координат. Пусть — другая точка прямой. Запишите уравнение в прямоугольной декартовой системе. При получим уравнение прямой, проходящей через начало координат. Задание. Установить, что каждое из следующих уравнений определяет эллипс, и найти координаты его центра С, полуоси, эксцентриситет, уравнения директрис.

В аналитической геометрии линия на плоскости определяется как множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению F(x,y)=0. Важный класс линий составляют те, для которых функция F(x,y) есть многочлен от двух переменных, в этом случае линия, определяемая уравнением F(x,y)=0, называется алгебраической.

Уравнение второй степени, имеющее бесконечное множество решений, определяет эллипс, гиперболу, параболу или линию, распадающуюся на две прямые. Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат. Пусть a>b, тогда фокусы F1 и F2 находятся на оси Оx на расстоянии c= от начала координат.

Уравнение плоскости в отрезках

Уравнение F(x, y) = 0 задает линию, разбивающую плоскость на две или несколько частей. Прямая, уравнение которой Ax+By+C = 0, разбивает плоскость на две полуплоскости. Уравнение (x-2)2 + (y+3)2 — 25 = 0 задает окружность с центром в точке C(2,-3) и радиусом 5. Окружность разбивает плоскость на две части — внутреннюю и внешнюю.

Решение. Будем искать уравнение прямой в виде y=kx+b. Поскольку прямая проходит через точку A, то ее координаты удовлетворяют уравнению прямой, т.е. 1=3k+b, Þ b=1-3k. Решение. Каноническое уравнение параболы с параметром р имеет вид y2 = 2рx, вершина ее совпадает с началом координат, и парабола симметрична относительно оси абсцисс.

Вторая задача аналитической геометрии – исследовать, какие геометрические фигуры представляются теми или иными уравнениями. При этом уравнение может задавать точку, отрезок или пустое множество. Уравнение называется алгебраическим степени, если его левая часть представляет собой многочлен степени относительно и с численными коэффициентами.

Если — уравнение данной кривой в полярных координатах, то — уравнение конхоиды, где — отрезок, который откладывается от точек кривой. Если — радиус данной окружности, а — постоянный отрезок, который откладывается на полярном радиусе, и если , то улитка Паскаля является кардиоидой. Овалом Кассини называется геометрическое место точек плоскости, для которых произведение расстояний до двух фиксированных точек этой плоскости постоянно.

Приняв точку за полюс полярной системы координат и направив ось по лучу , выведите полярное уравнение циссоиды. Основная теорема теории прямой на плоскости.

40. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки — A(x1, y1) и B(x2, y2 ):

Пусть — начало координат, а — произвольная точка плоскости. На прямой найдите точку, сумма расстояний которой до точек (-5;0) и (-3;4) наименьшая. Плоскость называется ориентированной, если на ней указано некоторое направление вращения в качестве положительного.

Пучком параллельных прямых называется совокупность всех прямых, имеющих направления прямых (1) и (2), если они параллельны или совпадают. 1) и (2), кроме второй из взятых прямых. Для нормального уравнения длина вектора нормали равна 1. Отклонением точкиот прямой называется число , равное , если векторы и сонаправлены и , если и противоположно направлены. Нормальное уравнение часто записывают в виде Здесь , — направляющие косинусы вектора нормали.

Вектор нормали направлен в сторону полуплоскости, в которой нет начала координат. Так как числа и имеют разные знаки, то точки принадлежат различным полуплоскостям относительно прямой.

Возьмем на плоскости прямую. Выберем на ней точку и единичный вектор а также некоторое положительное направление обхода. В этом случае считаем, что полярный радиус может принимать и отрицательные значения. Найдем полярное уравнение прямой на плоскости. Докажите, что при равномерном сжатии к этой прямой окружность преобразуется в эллипс.

10. Общее уравнение прямой

Начало полярной системы координат поместим в фокус (левый в случае эллипса, правый в случае гиперболы). Наша кривая есть геометрическое место точек, для которых где — эксцентриситет эллипса или гиперболы и в случае параболы. Этими уравнениями постоянно пользуются в астрономии и в механике. Линией второго порядка называется линия, которая в некоторой декартовой системе координат определяется уравнением второй степени.

После подбора подходящей системы координат уравнение второй степени примет наиболее простой вид. Коэффициенты приведенных уравнений определяются при помощи инвариантов. Центром линии называется точка плоскости, по отношению к которой точки линии симметричны парами. Уравнение второй степени называется эллиптическим, если , гиперболическим, если и параболическим, если . Докажите, что уравнение центральной линии может быть только эллиптическим или гиперболическим.

Надо отметить, что в уравнении отсутствует слагаемое, содержащее произведение . Этот факт объясняется следующим образом. С геометрической точки зрения это выглядит как параллельный перенос системы координат. Если же работать с уравнением , то здесь надо сначала повернуть систему координат, а затем осуществить ее параллельный перенос.

Кривые, заданные уравнением , имеют смещенные оси симметрии, а значит и центр симметрии или координаты вершин. GПример 44. Установить вид кривой и построить ее график. Начало новой системы координат 0*(2,-1) является точкой пересечения этих прямых. 2. Построение в полученной системе координат графика функции. Изобразить эллипс на чертеже, указав оси симметрии, фокусы и директрисы.

Далее считаем, что все события происходят в прямоугольной системе координат. Типовые варианты расположения плоскостей в прямоугольной системе координат детально рассмотрены в самом начале статьи Уравнение плоскости. Тем не менее, ещё раз остановимся на уравнениях, которые имеют огромное значение для практики.

Теперь возвращаемся к уравнению плоскости . Поскольку «игрек» принимает любые значения, то построенная в плоскости прямая непрерывно «тиражируется» влево и вправо. Рассматриваемое уравнение второго порядка можно привести к каноническому виду, выполняя линейные преобразования. Найдем уравнение эллипса, гиперболы и параболы в полярных координатах. Центром пучка называется точка пересечения прямых.

Смотрите также:

Похожие публикации:

  • Признаки подобия треугольниковПризнаки подобия треугольников Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия. Признак первый – у подобных треугольников два угла одного равны двум углам другого. Теорема (первый признак […]
  • Церковная реформа Петра IЦерковная реформа Петра I Дело пошло в Сенат, и Сенат оправдал лекаря. И на духовенство в этом смысле были возложены Петром тяжкие обязанности. Так же, как и там, Пётр позаботился об устройстве надзора за […]
  • Россия в эпоху дворцовых переворотов 1725–1762 ггРоссия в эпоху дворцовых переворотов 1725–1762 гг Верховный тайный совет в 1731 г. был заменен Кабинетом из трех министров во главе с А.И. Остерманом. За 37 лет от смерти Петра I до воцарения Екатерины II (1725–1762) трон занимали шесть […]